El teorema del Nadal

Matemàticament

una conjectura és una afirmació que es creu que és certa però que no ha estat provada que sigui certa ni que sigui falsa. Curiosament, dins de les matemàtiques, que són sobretot conegudes pel seu rigor en les demostracions d’allò que és cert o fals, sembla que les conjectures no hi haurien de caber, però la veritat és que gràcies a les conjectures les matemàtiques han avançat sent les mateixes conjectures la base de moltíssims teoremes. La resolució de conjectures ha obert portes a noves investigacions matemàtiques.

Hi ha hagut conjectures que han resultat certes, com la conjectura de Poincaré resolta per Grigori Perelman el 2003 i per tant ja catalogada com a teorema, i conjectures que han resultat ser falses, com la conjectura de Polya sobre la quantitat de factors primers de la qual l’any 1958 Brian Haselgrove en va trobar un contraexemple amb un nombre de 365 xifres.

De conjectures famoses encara n’hi ha per demostrar, per si us voleu posar durant aquests dies: la conjectura de Goldbach (1742), la conjectura dels primers bessons (1849), la conjectura de Collatz (1937), la conjectura ABC (1985), la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer (1965), la conjectura de Hodge (1950)...

El matemàtic francès Albert Girard (1595-1632) és conegut sobretot per ser el primer a utilitzar les abreviatures “sin”, “cos” i “tan” pel sinus, el cosinus i la tangent en trigonometria. Tanmateix va deixar obert un històric problema. Pensem en nombres primers que siguin consecutius a un múltiple de quatre, és a dir, de la forma 4n+1, per exemple el 5, i veiem que el 5 el podem posar com 5=2×2+1×1, una suma de quadrats. Un altre número seria el 13 i veiem que 13=3×3+2×2. També el 17=4×4+1×1, el 41=4×4+5×5 o el 13313=52×52+103×103… de tal manera que Girard conjecturà que qualsevol nombre primer de la forma 4n+1 pot expressar-se de manera única com a suma de dos quadrats.

L’advocat francès Pierre de Fermat (1601-1665) era aficionat als números, a escriure’s amb matemàtics i a anotar idees als marges dels llibres.

Com que ni el dia de Nadal Fermat no podia deixar de jugar amb números, el 25 de desembre de 1640 va escriure una carta al monjo francès Marin Mersenne, un dels cracs dels nombres primers de l’època, afirmant que un nombre primer p es pot escriure exactament d’una única manera com a suma del quadrat de dos nombres naturals si, i només si, p és un múltiple de 4 més un. D’aquesta manera la conjectura de Girad deixava de ser conjectura i passava a conèixer-se com el Teorema de Nadal de Fermat.