Sudokus i quadrats màgics

Avui fa un mes

moria als 69 anys a conseqüència d’un càncer el japonès Maki Kaji. A finals de la dècada dels vuitanta i gràcies a la secció d’entreteniment de la revista

Monthly

Nikolist Kaji va popularitzar el que ara anomenem sudoku.

Aquest entreteniment d’omplir caselles amb els números de l’1 al 9 en 9 blocs de quadrícules es creu que el va inventar el matemàtic suís Leonhard Euler (1707-1783), de qui ja hem parlat més d’un cop en aquesta secció.

El sudoku es considera ben construït si té solució única, i no tots els sudokus tenen la mateixa dificultat, tot depèn de la quantitat de nombres que apareixen inicialment.

Un cop popularitzats els sudokus cap al final del segle passat, els matemàtics es van posar a estudiar quants nombres feien falta inicialment com a mínim per a plantejar un sudoku. La resposta va arribar el gener de 2012 quan Gary McGuire, Bastian Tugemann i Gilles Civario, de la University College Dublin, van publicar el resultat “No hi ha cap sudoku de 16 pistes: resolució del problema del nombre mínim de pistes del sudoku”.

En 38 pàgines i mitjançant combinatòria, àlgebra i l’anàlisi amb

software

de 5500 milions de sudokus (penseu que se’n poden construir 6.670.903.752.021.072.936.960, és a dir, a una mitjana d’un minut per sudoku i si haguéssim començat a fer-los en el moment del Big Bang encara no els hauríem acabat tots!) conclouen allò que el títol del treball ja diu com a espòiler, que 16 números inicials no són prou, que cal un mínim de 17 nombres per crear un sudoku de solució única, però això no vol dir que tots els que parteixen de 17 valors inicials tinguin solució única.

Els matemàtics, que tenen aficions molt estranyes a vegades, fa molt i molt temps que es dediquen a jugar a emplenar quadradets amb números. Coneguts són els quadrats màgics, uns quadrats dividits en cel·les en les quals cal anar posant números correlatius de tal manera que cada fila, columna i diagonal sumin el mateix.

Els primers quadrats màgics ens van arribar a través de la matemàtica xinesa i aquestes combinacions màgiques de nombres creien que tenien propietats sobrenaturals. Un cop van arribar a Europa, matemàtics com Fermat, Pascal, Leibniz i Euler van posar-se a jugar amb ells sobretot per saber quants quadrats màgics hi havia d’ordre 3 (3 files i 3 columnes), d’ordre 4, d’ordre 5… Frenicle De Bessy (1693) va demostrar que es poden construir 880 quadrats màgics d’ordre 4 i fins al 1975 no es va poder afirmar que existeixen 275.305.224 quadrats màgics d’ordre 5… Per a ordres més grans, encara estem calculant.

.