Coordenades cartesianes

Tal dia com avui fa 388 anys, és a dir, el 8 de juny de 1637, es va completar la impressió d’un dels llibres essencials tant de la història de les matemàtiques com de la filosofia; el Discours de la Méthode de René Descartes. Aquesta obra inclou l’important apèndix La Géométrie en què es formalitza una nova manera de treballar la geometria a partir de l’àlgebra. És a dir, a partir d’aquesta nova geometria cartesiana o analítica s’estudia la geometria sense necessitat de dibuixar, fent ús de l’àlgebra per a la resolució de problemes geomètrics. L’any 1999 la Societat Catalana de Matemàtiques i l’Institut d’Estudis Catalans van publicar una excel·lent traducció al català a càrrec dels professors Josep Pla i Pelegrí Viader.

Aquesta nova forma de treballar la geometria es basa en el conegut sistema de coordenades cartesianes ideat per Descartes. Feia més d’un segle que els pintors usaven punts de referència i quadrícules a les seues obres per situar les parts dels seus quadres, Descartes va agafar aquesta idea i la va combinar amb l’aritmètica: va anomenar origen de coordenades al punt on es tallen dos rectes perpendiculars i, a partir d’aquí, cada punt d’un pla queda perfectament definit amb un parell de nombres. A la recta (eix) horitzontal el va anomenar X i a l’eix perpendicular vertical el va anomenar Y, i fent divisions sobre aquests eixos va construir una quadrícula de tal forma que si partim del punt origen (0, 0) i ens movem un quadrat cap a la dreta anem al punt anomenat (1, 0), si de l’origen ens movem un quadrat cap amunt ens situem al punt (0, 1), si ens movem un cap a l’esquerra anem al (-1, 0) i si ens movem un avall és el punt (0, -1). Fixeu-vos que el primer nombre del parell indica la posició horitzontal (X) i el segon la posició vertical (Y). Els punts de la dreta de l’origen tenen X positiva i els de l’esquerra X negativa, els de dalt Y positiva i els de baix Y negativa. D’aquesta manera, el punt (-3, 1) és un punt situat 3 a l’esquerra de l’origen i 1 amunt. Aquest innovador sistema és utilitzat avui en dia per situar posicions en mapes i plànols, i adaptat a la geometria esfèrica per situar punts sobre la Terra i poder usar el sistema de posicionament global via satèl·lit (GPS). A partir d’aquí, Descartes va començar a donar forma d’equació a les rectes i a estudiar algebraicament la geometria que tant havia desenvolupat Euclides. Molts matemàtics abracem aquesta geometria perquè pensem que “la geometria és l’art de pensar bé i dibuixar malament”, com va sentenciar Henry Poincaré encertadament.

S’explica que Descartes va idear aquest sistema de posicionament mirant una mosca al trebol del seu dormitori mentre ell estava en posició horitzontal al llit. La seua fràgil salut durant la infantesa va provocar que tingués predilecció per aquesta postura i durant aquestes llargues estones al llit dedicava moltes hores a pensar (cogito ergo sum). El 1649 la reina Cristina de Suècia el va contractar per a rebre lliçons de filosofia i matemàtiques a les 5 de la matinada. El fred suec i massa hores de treball –massa matineres– van acabar amb ell amb només 53 anys.