Mitja copa

Un dels moments més esperats de les celebracions d’aquestes dates és el moment del cava. Acostuma a ser cap al final de l’àpat i el comensal que té més traça o més alegria és l’encarregat de destapar una ampolla enmig del goig de la resta de la taula. Però a l’hora de servir el cava en les copes corresponents sempre apareix el típic comensal que, o bé per vergonya o bé per modèstia, diu “a mi només mitja copa, eh?” I és que quan un comensal ens demana “mitja copa”... a què es refereix exactament? Que li omplin la copa fins a la meitat de la seua alçada o que li omplin la meitat del volum total que hi cap?

Si omplim un vas cilíndric fins a la meitat de l’alçada, com que el diàmetre és constant, hi haurà la meitat de volum de líquid que si el vas estigués ple fins dalt. En aquest cas seria el mateix. Però com que beure cava amb un vas cilíndric no queda gaire snob, l’acostumem a beure en unes copes que tenen forma, més o menys, de con invertit. I el con no té les mateixes propietats que el cilindre: la seua amplada (diàmetre) varia amb l’alçada.

El volum de líquid en un con depèn de l’alçada del líquid i del radi de la circumferència que es forma on arriba aquest líquid. De fet podem calcular el volum d’un con com una tercera part de l’alçada multiplicada pel nombre pi (aproximadament 3.1416) i pel radi elevat al quadrat. Per exemple, suposem una copa de cava cònica amb una alçada de 10 cm (sense tenir en compte el peu) i un diàmetre en la part més alta de 5 cm, aleshores el volum que hi cap és de 65,45 mL. Ara bé, si l’omplim fins a la meitat, és a dir fins a una alçada de 5 cm, pel teorema de Tales el líquid formarà una circumferència de 2,5 cm de diàmetre i el volum de líquid serà 8,18 mL, és a dir, una vuitena part del total que cap a la copa! En conclusió, omplir una copa de cava fins a mitja alçada representa una vuitena part del total de cava que hi cap.

Però si realment el comensal a qui servim vol la meitat de volum, fins a quina alçada de copa li hem d’omplir? Doncs preneu una calculadora i l’únic que cal fer és dividir l’alçada de la copa entre l’arrel cúbica de 2 (aproximadament 1,26). D’aquesta manera, la nostra copa de 10 cm d’alçada l’hem d’omplir de cava fins una alçada de 10: 1,26 = 7,94 cm, i obtindrem un volum de cava de 32,72 mL, que és la meitat del volum total.

Així que si no voleu quedar malament servint el cava preneu un regle i una calculadora i tindreu els parents ben servits. Si ho voleu fer a ull, l’alçada que correspon a la meitat de volum és gairebé quatre cinquenes parts de l’alçada de la copa.

Apunt històric Els matemàtics grecs Demòcrit i Eudoxe ja van demostrar que el volum d’un con de mateix radi i alçada que un cilindre és una tercera part del volum del cilindre. Això vol dir que, si ompliu un vas cilíndric i una copa cònica de mateix radi i alçada al vas hi cabrà el triple de líquid que a la copa. L’ús de la geometria en la cuina és força representatiu, en el llibre Mateschef del matemàtic Claudi Alsina hi podeu trobar molts exemples.