Regals de Nadal i nombres triangulars

Hi ha una antiga nadala tradicional anglesa que popularitzà Bing Crosby que duu de títol The Twelve Days of Christmas (Els dotze dies de Nadal) en la qual es van enumerant els regals que algú rep durant dotze dies consecutius de les festes nadalenques. Els curiosos regals rebuts successivament segons la cançó són: una perdiu, dos tórtores, tres gallines, quatre merles, cinc anells d’or, sis gansos, set cignes, vuit donzelles munyint (!?), nou dames ballant, deu senyors saltant, onze flautistes i dotze timbalers.

La cançó va repetint els regals anteriors en cada estrofa a mesura que se’n va afegint de nous.

D’aquesta manera el primer dia es rep 1 regal (la perdiu); el segon dia se’n reben dos (les tórtores) i per tant hi ha acumulats 1+2=3 regals; el tercer dia es reben 3 regals (les gallines) i en total se’n tindran 1+2+3=6 regals;: amb els 4 regals rebuts el 4rt dia ja portarem un total de 1+2+3+4=10 regals.. i així successivament fins al dotzè dia en què la persona en qüestió de la cançó haurà rebut la gens menyspreable quantitat de 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78 regals.

D’aquestes sumes de nombres consecutius sorgeixen els anomenats nombres triangulars. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78… són els dotze primers nombres triangulars i se’ls anomena així per la forma en què es poden anar situant tal com podeu veure en la imatge.

El primer que els va estudiar, i segurament sense voler, va ser un jovenet Karl F. Gauss que als set anys el seu professor va castigar tota la seua classe fent-los sumar els nombres de l’1 al 100.

Gairebé encara no havia acabat d’explicar el càstig que Gauss ja va donar el resultat: 5050. Mentre la resta de companys d’aula anaven sumant amb paciència 1+2+3+4+5+..

al jove Gauss se li va acudir sumar 1+100, 2+99, 3+98 i així successivament de tal manera que cada suma d’aquestes dona 101 i com que en total són 50 sumes, doncs 101×50=5050. Sense ser-ne conscient Gauss va descobrir la fórmula n×(n+1)/2 per sumar els n primers nombres consecutius.

En teoria de nombres els nombres triangulars s’han estudiat i s’han obtingut curioses propietats. Per exemple, els nombres triangulars sempre acaben en 0, 1, 3, 5, 6 i 8.

I si sumem dos nombres triangulars consecutius sempre dona un nombre quadrat (aquell que és resultat de multiplicar un nombre per ell mateix) 1+3=4=2×2; 3+6=9=3×3; 6+10=16=4×4; 10+15=25=5×5; 15+21=36=6×6… El 1638 Pierre de Fermat va conjecturar que tot nombre enter positiu és una suma de com a màxim tres nombres triangulars. Fermat, com era habitual en ell, va deixar escrit que tenia una prova d’aquest resultat tot i que la prova de Fermat mai no s’ha trobat.

Gauss ho va demostrar i ho va deixar anotat al seu diari el 10 de juliol de 1796 d’aquesta curiosa manera: num=Δ+ Δ+ Δ. En definitiva, molt bones festes i desitgem que tingueu un bon nombre triangular de regals.