El teorema de l'observador

Som al mes d’agost i els humans tenim aquella imperiosa necessitat de fer uns dies de vacances allunyant-nos de casa nostra, descobrir nous llocs i visitar museus que, si estiguessin a la nostra ciutat, potser no hi aniríem.

Si ja fa uns mesos, en un altre article, parlava del teorema de la galeria d’art –com calia situar els vigilants en un museu per tal que no quedés cap racó sense poder ser vigilat–, avui escriuré on cal situar-se per poder contemplar un quadre, si més no, des d’un punt de vista de les matemàtiques.

Primer, cal definir què és el punt de fuga de dos línies paral·leles. Imagineu que esteu mirant frontalment una via de tren –vigilant que no en vingui cap, és clar!–; evidentment, els dos rails són paral·lels, però la nostra vista no els veu paral·lels, sinó que a mesura que van allunyant-se cap a l’horitzó sembla que s’ajuntin en un punt: aquest punt s’anomena punt de fuga i el va definir el matemàtic francès Girard Desargues (1591-1661).

Suposem ara que estem observant un quadre senzill en el qual hi ha representat un cub. Un cub té tres famílies de rectes paral·leles: les que delimiten l’amplada, les que delimiten l’alçada i les que delimiten la profunditat. Per tant, aquest cub pintat en un quadre tindrà tres punts de fuga, un per cada família de rectes paral·leles. Si aquest cub el mirem des de diferents llocs i angles, veurem una figura deformada que potser ni s’assembla a un cub, però hi ha un punt des del qual l’apreciarem perfectament.

D’aquesta manera Christopher Zeeman (1925-2016) ens enuncia l’anomenat teorema de l’observador: “Hi ha un únic punt davant un quadre fet amb un dibuix amb perspectiva i que té tres punts principals de fuga des d’on es pot veure el quadre perfectament.” Aquest teorema ens dóna la posició si tenim els ulls a la mateixa alçada que el pintor quan el va fer. Si el quadre està més amunt, la cosa canvia. I és que, com diu el divulgador Claudi Alsina, especialista en geometria, “només amb matemàtiques no es podria fer art, però sense elles, tampoc”.