2019 feliç, però no perfecte

Evidentment que als lectors i lectores assidus d’aquesta secció els desitjo un 2019 feliç i perfecte, faltaria més! Però el títol de l’article d’avui fa referència a característiques numèriques del nombre 2019 i no pas a anhels personals.

I és que el 2019 és el que s’anomena un nombre feliç. Un nombre feliç es defineix de la següent forma: elevem al quadrat (o multipliquem per ell mateix) cadascun dels dígits que formen el número i sumem els resultats. Del número obtingut es repeteix el procediment totes les vegades que convingui. Si hi ha un moment en què s’obté un 1 de resultat aleshores direm que el número és feliç, sinó serà un número infeliç.

Anem a comprovar-ho amb el 2019: (2 x 2) + (0 x 0) + (1 x 1) + (9 x 9) = 86; repetim el procediment amb el 86: (8 x 8) + (6 x 6) = 100 i ara ho fem amb el 100: (1 x 1) + (0 x 0) + (0 x 0) = 1. Com que hem obtingut un 1 resulta que el 2019 és feliç. A més el 2019 acaba en 19 que a part de ser feliç és primer i per tant és un primer feliç. Entre l’1 i el 10.000 hi ha 1.441 nombres feliços, però és fàcil pensar que de nombres feliços n’hi ha infinits, perquè les potències de 10 seran sempre felices: 10, 100, 1.000, 10.000… Existeixen algunes parelles de nombres feliços consecutius: 31 i 32, 129 i 130 o 262 i 263. També es coneix algun trio de nombres feliços consecutius: 1.880, 1.881 i 1.882.

Per altra banda, un número és perfecte si és suma dels seus divisors positius (els números pels quals la divisió dona exacta) llevat d’ell mateix. Per exemple, el 6 es pot dividir entre 1, 2 i 3 i es té que 1 + 2 + 3 = 6. O el 28 té de divisors positius 1, 2, 4, 7 i 14 i es compleix que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Per tant 6 i 28 són nombres perfectes. El 2019 té com a divisors l’1, el 3 i el 673 i 1 + 3 + 673 no fa 2019 i per tant no és perfecte tot i ser feliç. De nombres perfectes se’n coneixen només cinquanta –i això que des del temps d’Euclides que es busquen!– i de perfectes i feliços només se n’han descobert tres: 28, 496 i 8.128. Així que encara ens queden uns quants anys per arribar a un any feliç i perfecte.

Dr. Who Ara que està tan de moda parlar de sèries, en el setè capítol de la tercera temporada moderna de Dr. Who, que es titula 42, Riley pregunta: “Quin és el següent nombre de la seqüència: 313, 331, 367...?” i el doctor respon “379”. Quina és la relació que tenen aquests quatre nombres? Els ho deixo perquè hi pensin.